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2. Cilindros
Girantes
O campo de velocidades de um cilindro girante de
extensão infinita, imerso num fluido newtoniano, é dado pela equação de Navier-Stokes
com as condições de contorno impostas. Sua solução estacionária para fluidos
incompressíveis e de viscosidade constante (equação simplificada) está demonstrada no apêndice B. Pode-se obtê-la também de dados da literatura como
um caso particular da solução para o viscosímetro de Couette, ou seja, com o raio do
cilindro exterior do mesmo tendendo a infinito. Obtém-se então:
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(1) |
sendo K constante, w a
velocidade angular do cilindro, r 1
seu raio e r a distância do ponto considerado ao eixo do cilindro (corresponde ao r do sistema de coordenadas cilíndricas). O campo é idêntico do
ponto de vista geométrico, bem como analítico, ao campo magnético B produzido
por um fio de corrente retilínea de extensão infinita:
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(2) |
A expressão (2), obtida pela primeira vez por Biot e Savart em
1820, foi desintegrada por Laplace que chegou à expressão do campo produzido por
um elemento de corrente ids (Locqueneux, 1989),
expressão esta conhecida como lei de Biot-Savart, ou ainda, lei de Ampère-Laplace, e
expressa atualmente por
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(3) |
Adotando-se a postura de Feynman, citada
na introdução, podemos então escrever:
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(4) |
em que dv(r) seria o campo de
velocidades de um elemento de cilindro (Notar que r, agora, representa uma medida
em coordenadas esféricas). Mas o que seria tal elemento de cilindro? Obviamente,
trata-se de uma entidade matemática, e não física, tal e qual o elemento ids da
lei de Biot-Savart. É importante perceber que dv(r), dado por (4), não é o campo
de um cilindro infinitesimal de raio r 1, posto que a equação não leva em conta os efeitos de suas superfícies não
laterais. E, com efeito, estas superfícies não contribuem para a expressão original
(1). Tampouco é o campo de um anel, posto que não há também nenhuma contribuição da
superfície interna. dv(r) é portanto uma idealização matemática do mesmo tipo
que dB(r) dado por (3).
Se em eletromagnetismo é extremamente difícil,
se não impossível, evoluir de um elemento ideal para o real (que no caso seria um
elétron ou um conjunto de elétrons em movimento), em mecânica dos fluidos tal não se
dá. É perfeitamente possível estimar-se os efeitos de um elemento real de
cilindro de altura ds que gere um campo em consonância com a equação de Navier-Stokes.
A tarefa pode não ser fácil, mas é possível. E não é fácil posto que a equação
citada é não-linear, ou seja, o princípio da superposição, como regra, não é
obedecido. De qualquer forma, vamos verificar no item a seguir o campo de um disco de raio
r1 em rotação, qual seja, o campo
produzido isoladamente pela superfície circular de um elemento de cilindro real.
Referências:
[5] LOCQUENEUX, R., História
da Física, Publ. Europa-América, Portugual, 1989. Voltar
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